А. Н. Крылов родился 3(15) августа 1863 г. в деревне Висяга Алатырского уезда Симбирской губернии (ныне деревня Крылово Порецкого района в Чувашии)
Окончил с наградой Морское училище, Морскую академию, в которой был оставлен одним из первых преподавателем математики. С этого времени началась его преподавательская деятельность, которая продлилась практически до смерти ученого.
В 1908 г. А.Н. Крылов был назначен главным инспектором кораблестроения, а вслед за этим - председателем Морского технического комитета.
В 1914 г. Московский Университет присудил Крылову почетную степень доктора прикладной математики. В том же году А.Н. Крылова избрали членом-корреспондентом, а в 1916 г. - действительным членом Академии наук.
Научная деятельность Алексея Николаевича Крылова, которой он посвятил шестьдесят лет своей жизни, охватывает многие отрасли физико-математических знаний. Кораблестроители справедливо считают А.Н. Крылова отцом современного кораблестроения. Математики произносят его имя с величайшим уважением. Много нового и оригинального внес А.Н. Крылов также в механику, физику, астрономию, баллистику, теорию стрельбы, геодезию и в другие отрасли науки и техники. Труды А.Н. Крылова подняли на небывалую высоту отечественную кораблестроительную науку, упрочили ее приоритет и превосходство над иностранной наукой, позволили решить такие проблемы науки и техники, которые оказались не под силу зарубежным ученым.
А.Н. Крылов смело и до конца вскрывал ошибки иностранных ученых, отстаивал приоритет своих соотечественников в науке и технике, неустанно пропагандировал заслуги наших ученых, подчеркивал превосходство русских ученых, инженеров, изобретателей. Ученый решительно восставал против рутины и косности чиновников, сидевших в управлениях морского и артиллерийского ведомств. С убийственной иронией А.Н. Крылов говорил, что все эти чиновники действуют по одному правилу: ко всякому делу применяют одно из трех "от" - отписаться, отмолчаться, отказать
В области кораблестроения А.Н. Крылов больше всего занимался теорией корабля. Его можно смело назвать создателем современной теории корабля; он блестяще решил такие новые, выдвинутые жизнью проблемы, как качка корабля, его непотопляемость и другие, предложил новую методику решения почти всех задач теории корабля. Так, одна из старейших кораблестроительных дисциплин, долго находившаяся в бессистемном состоянии и имевшая немало ошибок и "белых пятен", приобрела благодаря трудам А.Н. Крылова стройный и строгий вид, была прочно поставлена на подлинно научную основу и превратилась в четкую систему научных положений и выводов. Капитальный труд А.Н. Крылова "Качка корабля", вышедший к 75-летию со дня рождения ученого, представляет собою результат 45-летних научных исследований.
А.Н. Крылов внес много ценного и в учение о прочности корабля. Среди работ, посвященных этому вопросу, следует назвать его труд "О расчете балок, лежащих на упругом основании" (1930 г.). Тираж первого издания этой ценной работы разошелся в один день. В 1936 г. был издан почти заново написанный Крыловым курс лекций "Вибрация судов". Книга содержит подробное изложение теории упругих колебаний и представляет большую ценность для практики кораблестроения.
Адмирал С.О. Макаров заложил основы учения о непотопляемости и живучести корабля. А.Н. Крылов развил это учение, создал свои знаменитые таблицы непотопляемости, внес неоценимый вклад в обеспечение плавучести и остойчивости кораблей. Его выводами и предложениями, а также таблицами непотопляемости пользуются ныне во всех флотах мира.
Известен А.Н. Крылов и как крупный специалист в области артиллерии. Он оставил многочисленные математические исследования, научные труды, имеющие большое практическое значение, а также разработку оригинального устройства для тренировки наводчиков, известного под названием "прибора Крылова".
С первых же дней Октябрьской революции А.Н. Крылов стал в первые ряды передовой русской интеллигенции, отдавая народу все свои знания и опыт. В 1919 г. его назначили начальником Военно-Морской академии. Он с честью оправдал столь высокое доверие и в трудных условиях гражданской войны и иностранной военной интервенции организовал подготовку командных кадров для молодого советского флота. Всей душой Крылов отдавался педагогической и научной работе, блестяще справляясь со всеми заданиями Советского правительства.
Академик А.Н. Крылов активно и плодотворно участвовал в восстановлении флота нашей Родины. Затем, когда развернулось строительство большого советского Военно-Морского флота, Алексей Николаевич со всей свойственной ему энергией и страстностью включился в решение всех важнейших проблем этого строительства. Он консультировал проектирование и постройку боевых кораблей, передавал кораблестроителям свой огромный практический опыт, предупреждал их от многих ошибок в столь сложном и ответственном деле. Ученый работал над многими теоретическими проблемами кораблестроения, неустанно двигал вперед отечественную науку.
До последних дней своей жизни А.Н. Крылов участвовал в работе многих научно-исследовательских институтов и различных комиссий. Он трудился не только в областях, близких ему, - математике и кораблестроении, но и во многих других отраслях науки и техники, вплотную занимался многочисленными вопросами строительства нашего флота и работы судостроительных предприятий. К Алексею Николаевичу обращались всегда, когда возникали труднейшие вопросы, которые даже опытным специалистам казались неразрешимыми.
В списке огромного и многогранного научного наследства А.Н. Крылова более 300 названий научных трудов. Сюда входят многотомные исследования, монографии, учебные курсы, журнальные и газетные статьи и т.д. Две трети этих работ выполнены ученым при Советской власти, когда талант Алексея Николаевича развернулся во всей своей силе.
26 октября 1945 г. после тяжелой болезни Алексей Николаевич Крылов скончался.
А.Н. Крылов похоронен на Белковом кладбище в Санкт-Петербурге, неподалеку от могил его великих современников И.П. Павлова и Д.И. Менделеева.